Разработаны новые эффективные методы и алгоритмы решения краевых задач, базирующихся на специальных функциях, для параболических уравнений в областях со свободно движущимися границами, вырождающимися в начальный момент времени. Разработаны математические модели дуговой эрозии электрических контактов с использованием методов решения с помощью интегральных функций ошибок. Решены задача Стефана для полого цилиндра с радиальным и аксиальным движением границы, двухфазная задача Стефана с учетом термодиффузионных процессов в электродах цилиндрической формы нагреваемых электрической дугой. Получена оценка физических параметров процесса и представление решения в виде ряда по функциям Бесселя, заменив уравнения для электрического поля и температуры на стационарные - допускающие представление решения в виде аналитических функций, подтверждена возможность применения этой математической модели для обобщенного описания термических и диффузионных процессов в электродах, работающих в газовой среде (воздухе). Рассмотрена задача восстановления температурного поля для тела с переменным сечением в вырожденной в начальный момент области. Построены соответствующие тепловые потенциалы, использованные затем для формирования интегрального представления решения задачи. С помощью интегрального представления краевая задача сведена к особому интегральному уравнению, формально относящемуся к типу Вольтерра второго рода. Установлен характер особенности интегрального уравнения. Решена сферическая задача Стефана с двумя границами. Решение представлено в явном виде. Сходимость рядов для функции температуры и для свободной границы доказана. Разработаны методы аналитического и численного решения задач теплопроводности для тел с переменным сечением базирующиеся на использовании аппарата специальных функций (интегральные функции ошибок, вырожденные гипергеометрические функции и др.). Полученные результаты применены к расчету мостиковой и дуговой эрозии электрических контактов.