Исследованы несколько банаховых пространств, где необходимые и достаточные условия компактности неизвестны. Это имеет место в пространстве всех вещественных ограниченных последовательностей или в пространстве всех ограниченных непрерывных вещественных функции на полуоси. Необходимо доказать новые условия компактности для множеств и операторов в некоторых пространствах, которые часто возникают в исследовании нелинейных интегральных, функциональных и дифференциальных уравнений. Такие условия компактности могут быть получены как следствия оценок для так называемых мер некомпактности. Рассмотрены дифференциальные и интегральные уравнения в разных пространствах и получены достаточные (и иногда и необходимые) условия, которые обеспечивают разрешимость рассматриваемых уравнений в заданном классе функций.