Исследованы оператор Лапласа с граничным условием объемного потенциала и полигармоническое уравнение с граничными условиями полигармонического объемного потенциала. В работе применяются вариационные принципы, симметризация Шварца, методы теории потенциалов, методы теории функций, методы интегральных уравнений, методы спектральной геометрии, классические теоремы Рисса. Доказано изопериметрическое неравенство для конечных сумм обратных собственных значений уравнения Лапласа с граничным условием объемного потенциала. Доказано изопериметрическое неравенство для сумм обратных квадратов собственных значений уравнения Лапласа с граничным условием объемного потенциала. Доказано изопериметрическое неравенство для конечных сумм обратных собственных значений полигармонического уравнения с граничными условиями полигармонического объемного потенциала. Доказано изопериметрическое неравенство для сумм обратных квадратов собственных значений полигармонического уравнения с граничными условиями полигармонического объемного потенциала.*