Изучены представление функций из функциональных пространств Никольского - Бесова и Лизоркина - Трибеля и их характеризации с помощью разложения элементов в ряд Фурье по кратной системе всплесков Мейера. Предложен оптимальный метод восстановления операторов, инвариантных относительно сдвига, на периодических классах Никольского - Бесова по информации о спектре (коэффициентах Фурье) функции. Получены оценки сверху приближения функции класса Бесова частными суммами ряда Фурье по кратной обобщенной системе Хаара. Установлен точный порядок приближения функций класса Никольского частными суммами ряда Фурье по кратной обобщенной системе Хаара по норме пространства Марцинкевича.