Построено приближенное решение уравнений параболического типа в областях с подвижной границей. Для функций из банаховых функциональных пространств типа Никольского - Бесова и Лизоркина - Трибеля переменной смешанной гладкости получена теорема о представлении специальными рядами сверток с сопутствующими эквивалентными нормировками. Установлены порядки убывания к нулю коэффициентов Фурье функций из пространства Соболева в случае, когда сходимость последовательности понимается в смысле обобщенного метода Пуассона.