Разработана математическая модель стагнации дугового пятна в вакуумных электрических аппаратах, базирующаяся на осесимметрической задаче Стефана для температурного поля и системе нелинейных дифференциальных уравнений для электрической цепи. Объяснено явление выхода пятна дуги из стагнации за счет роста электрического сопротивления металлического пара, приводящего к изменению направления теплового потока в дуговой плазме. Описана математическая модель замыкания последовательных мостиков. Обоснованы причины возникновения последовательных жидкометаллических мостиков, этапы их эволюции и механизм повторного замыкания. Построено фундаментальное решение уравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами в вырождающихся областях с переменным сечением.